Modelagem do Movimento de um Submarino com o Software Modellus 4.1.

Objetivos

Modelar o movimento de um submarino através da modelagem matemática com o software Modellus 4.1.

Verificar o comportamento das forças sobre o movimento de um submarino.

Revisão Bibliográfica

                O movimento de um corpo em um fluido é regido basicamente pela força resultante entre, verticalmente, peso do corpo e empuxo do fluido. Horizontalmente, o movimento é o resultado da força resultante entre propulsão e atrito hidrodinâmico.

                Segundo Halliday e Resnick, 2009, um fluido é uma substância que pode escoar, pois assumem a forma do recipiente em que são colocados. Eles se comportam dessa forma porque um fluido não pode resistir a uma força paralela à sua superfície.

Quando se trata de fluidos é conveniente utilizar as grandezas massa específica e pressão. 

Para determinar a massa específica de um fluido é necessário medir a massa (m) de um volume (V) de fluido. A massa específica é dada por (Equação 1):

                                                                               Equação 1

A pressão de um fluido é composta pela força (F) aplicada sobre uma área (A). A pressão pode ser definida como (Equação 2):

                                                                               Equação 2

A densidade do corpo é a razão entre sua massa (m) e volume (V) (Equação 3). Enquanto massa específica relaciona-se a substância, densidade relaciona-se a corpo.



                                                                              Equação 3

Como escrito anteriormente, o movimento vertical de um corpo no fluido é o resultado da força resultante entre peso e empuxo. O peso é definido pela Equação 4.

                                                                         Equação 4

O empuxo é uma força de baixo para cima resultado do peso do fluido deslocado. Também conhecido como o Princípio de Arquimedes. O empuxo só depende do peso do volume do fluido deslocado por um corpo imerso neste fluido. A Equação 5 mostra a equação da força do empuxo.

                                                              Equação 5

Quanto ao movimento horizontal, como descrito anteriormente, o movimento para frente ou para trás é o resultado da combinação de forças. A força resultante, juntamente com a massa, é responsável pela aceleração do corpo imerso no fluido.

Esse movimento poderá ser retilíneo uniforme, retilíneo uniformemente variado, ou uma composição de vários tipos de movimento de acordo com a manipulação das variáveis peso do corpo (submarino), força para frente e força para trás.

Para modelar o movimento do submarino de forma mais natural, sem incrementos instantâneos de força que levariam o mesmo a saltar na tela do computador, foram ultilizadas equações diferenciais que permitiram o incremento infinitesimal de força provocando variações infinitesimais na aceleração e consequentemente na velocidade. Dessa forma, é possível pilotar o submarino de forma suave e sem sobressaltos.

As Equações 6 e 7 mostram respectivamente as funções na forma diferencial, para velocidade e aceleração, no movimento variado, na direção horizontal.

                                                                               Equação 6

 

                                                                                Equação 7

  

A Equação 6 nada mais é do que a função vx = vo+ ax . t , no entanto, nesse formato, o submarino regido por essas equações não sofrerá grandes incrementos na sua posição (x) quando sofrer uma aceleração.

A Equação 8 descreve a aceleração horizontal ax em função da força resultante Fx sobre a massa do submarino.

                                                                                  Equação 8

As Equações 9 e 10 mostram respectivamente as funções na forma diferencial, para velocidade e aceleração, no movimento variado, na direção vertical.

                                                                              Equação 9

 

                                                                           Equação 10

A Equação 11 descreve a aceleração vertical a em função da força resultante Fr sobre a massa do submarino. Fr é a força resultante entre o peso do submarino e o empuxo sofrido pelo submarino.

                                                                           Equação 11

 

 

É importante ressaltar que para o controle do submarino, os operadores regulam a massa do mesmo injetando ou retirando água dos tanques de imersão.

Procedimentos

Para a modelagem matemática do submarino foi utilizado o software Modellus 4.1.

Etapas

1-                  O projeto começou com o desenho de fundo feito com o Paint. A imagem representa uma caverna submarina que serviu como labirinto de exploração com o submarino. 

 

 

2-                  Através do recurso “objetos”, foi inserida a imagem no software Modellus.

 

3-                  Foi inserido o modelo matemático, utilizando respectivamente as equações 6, 7, 8, 9, 10, 11 e 4.

4-                  Foram definidos os valores em condições iniciais para as variáveis vx (4.00) e vy (-6.00).

 

5-                  Utilizando o recurso objetos, foi inserido uma partícula (submarino) com coordenada horizontal ligada a variável vx e coordenada vertical ligada a variável vy. 

 

 

6-                  Foi inserido um indicador de nível ligado a variável força do eixo x (Fx) com valor mínimo (-50.000) e valor máximo (63.400). Através desse controle foi possível acelerar e desacelerar o motor do submarino.

7-                  Para indicar a quantidade de força do motor foi inserido um vetor que teve como coordenada horizontal a variável Fx, ligado ao submarino. A escala foi reduzida a 0.002.

8-                  Foi inserido um indicador de nível ligado à variável massa, definindo o valor mínimo (15.000 kg) e máximo (25.000 kg). Através deste controle foi possível alterar a relação entre peso e empuxo fazendo com que o submarino imergisse ou emergisse.

9-                  Foi inserido um vetor indicando o peso do submarino. Foi definido somente a coordenada vertical P1 ao submarino. P1 foi definido como o peso do submarino orientado negativamente (P1= -P).

10-                  Para indicar a variação da velocidade no eixo y foi inserido um vetor que teve como coordenada vertical a variável Vy. O vetor esteve ligado ao submarino.

11-                   Utilizando o Paint foi desenhado um submarino pequeno. Utilizando o recurso ‘’objetos’’ do software, a imagem foi inserida e ligada à partícula submarino.

12-                  Para indicar o empuxo da água sobre o submarino, foi colocado um vetor com coordenada vertical indicando F, que seria a variável do empuxo. O vetor foi ligado ao submarino.

13-                  O submarino foi colocado em movimento, os indicadores de nível permitiram controlar o objeto fazendo com que fosse para frente, para trás, para cima ou para baixo. Pôde-se observar também, através dos vetores, as forças aplicadas sobre o submarino.

Considerações finais

                Ao término deste trabalho foi possível deslumbrar mais uma vez a importância da Matemática no estudo de fenômenos físicos. Em especial, a utilização de vetores e do cálculo diferencial foi decisivo no sucesso desta aplicação da teoria do empuxo.

                Foi possível desenvolver uma aplicação em que um estudante pode controlar um submarino de pesquisa através de uma caverna manipulando o peso do mesmo e acelerando-o para frente e para trás.

Referências bibliográficas

HALLIDAY, D., RESNICK, R., WALKER, J. Fundamentos de Física. 8.ed. Rio de Janeiro: S.A, 2009

 

 

 

Movimento em um Plano Inclinado sem Atrito com Modellus 4.1

Objetivo

Modelar o movimento de um corpo durante seu deslocamento com velocidade uniforme em plano horizontal e seu movimento com velocidade uniformemente variada em plano inclinado com atrito.

Revisão Bibliográfica

          Segundo Ferraro e Soares, 1991, um plano inclinado forma um ângulo q com a horizontal. Quando a rampa é considerada sem atrito um corpo está sujeito a força peso e a força normal. Sobre o corpo atuam as forças: peso P e a força normal Fn. É comum decompor o peso P em duas forças componentes:

·        Py: normal ao plano inclinado e equilibrada pela força normal Fn;

·         Px: paralela ao plano inclinado.

Estas componentes podem ser calculadas da seguinte forma, equações 1 e 2:

 

Fonte: Brasil Escola, 2014.

Observe que Px  é a resultante das forças P e Py. Desse modo, o Princípio Fundamental da Dinâmica fornece, segundo as equações 3, 4, 5 e 6: 

Portanto, a aceleração de um corpo que desliza num plano inclinado, sem atrito, sob a ação de seu peso e da força normal, tem módulo , independente de sua massa.

Segundo Ramalho, 1999, quando um móvel desloca-se por uma superfície com atrito está sujeito a uma força contrária, a força que o impele. Essa força de atrito Fat é diretamente proporcional ao coeficiente de atrito dinâmico Ud e a força normal Fn , percebe-se através da equação 7. 

Até o móvel entrar em movimento, a força de atrito tem o mesmo valor que a força feita para impulsionar o móvel. Nesse caso o coeficiente de atrito é chamado de coeficiente de atrito estático, Ue. Esse coeficiente é maior que o coeficiente de atrito dinâmico. Ele só existe até a iminência do movimento. Concluindo: é mais fácil manter um corpo em movimento do que pô-lo em movimento.

           

Procedimentos

            Para a modelagem foi utilizado o software Modellus 4.1.

Etapas

1-      Desenho de uma imagem utilizando o paint;

2-      Inserção da imagem no software Modellus;

3-      Definição do modelo matemático;

4-      Definição dos parâmetros necessários;

5-      Inserção de uma partícula para se movimentar. Definição das coordenadas verticais (y) e horizontais (x);
 

6-      Em objetos, inserir um vetor que se liga a partícula, definir coordenadas verticais (p) e horizontais (ph);

7-      Em objetos, inserir de um vetor que se liga a partícula, definir coordenadas verticais (pat) e horizontais (phat);

8-      Visualização do gráfico;

9-      Visualização da tabela
 

 

            10- Observação final do movimento.

Resultados obtidos

            Analisando o modelo pode-se perceber que a partícula se movimenta em uma base retilínea com velocidade uniforme. Quando inicia sua descida pelo plano inclinado a velocidade começa a aumentar constantemente. Devido ao valor da gravidade e da massa da partícula a componente x do peso varia de acordo com o ângulo do plano inclinado, determinando a aceleração que o móvel sofre durante o percurso. Para este caso o ângulo adotado foi de 22°.

            Foi possível modelar o sistema de forma que o movimento do objeto ficou restrito ao plano inclinado, ou seja, a primeira parte do estudo está completa. O próximo passo é montar um arranjo experimental em que uma esfera se deslocará por um plano inclinado com mesma inclinação do modelo. Pretende-se integrar o filme desse movimento real com o modelo.

Referências Bibliográficas

Plano Inclinado. Brasil Escola. Disponível em:http://www.brasilescola.com/fisica/plano-inclinado.htm.  Acesso em: 27 jun. 2014.
 

RAMALHO Júnior, F., FERRARO, N. G., SOARES, P. A. T. Os Fundamentos da Física. 7. Ed. São Paulo: Moderna, 1999.
 

FERRARO, N. G., SOARES, P. A. T. Aulas de Física. 17. Ed. São Paulo: Atual, 1991.

Modelagem do Movimento Retilíneo Uniformemente Variado com Modellus 4.1

Objetivo

Caracterizar o Movimento Uniformemente Variado através da modelagem matemática do software Modellus.

Revisão Bibliográfica

                Segundo Kazuhito, Fuke e Shigekiyo, 1993 movimento variado é aquele em que as velocidades dos móveis variam com o tempo. Para que isso aconteça é necessário que ocorra a aceleração. Aceleração é a taxa de variação da velocidade escalar numa unidade de tempo. Define-se aceleração escalar média pela relação (equação 01):

                                                                                                       (1)

        Um móvel esta em movimento uniforme quando sua aceleração é a mesma em cada intervalo de tempo.

A velocidade que um móvel percorre em um instante de tempo depende da velocidade incial e a aceleração na qual ele esta sujeito. Portanto, a função horária da velocidade do MUV é (equação 02):

                                                                                                  (2)

A figura 1 mostra o gráfico da função horária da velocidade no MRUV.

Figura 1 – Gráfico da função horária da velocidade no MRUV.

           No MUV, a velocidade e o espaço variam no decorrer do tempo, em função disso, a função horária dos espaços do MUV é (equação 03):

                                                                                          (3)

           A Figura 2 mostra o gráfico da função horária dos espaços no MUV.

Figura 2 – Gráfico da função horária dos espaços no MUV.

Um caso especial de MRUV é o lançamento oblíquo. Após o lançamento, desprezada a resistência do ar, o móvel fica sob a ação exclusiva de seu peso e sujeito apenas a aceleração da gravidade.

O movimento no lançamento oblíquo é composto por dois tipos de movimento. O movimento vertical e o movimento horizontal.

A figura 3 mostra a trajetória (em vermelho) de um móvel lançado com velocidade inicial v­₀. Observa-se que v_0y é a componente vertical de v₀.

Figura 3 – O módulo da velocidade vertical v_y varia como no lançamento vertical para cima.

Fonte: Adaptado de Ramalho, 1999.

A velocidade inicial vertical v_0y, tem como módulo, a equação 04. 

                                                                                              (4)

           Para o lançamento oblíquo, as equações 02 e 03 assumem as formas 05 e 06. 

                                                                                            (5)

                                                                                       (6)

A figura 4 mostra a trajetória (em vermelho) de um móvel lançado com velocidade inicial v­₀. Observa-se que v_x é a componente horizontal de v₀. No movimento horizontal a velocidade é constante e sempre igual a componente x da velocidade inicial. A velocidade x tem como módulo a equação 07. 

                                                                                          (7)

                  Figura 4 – A velocidade horizontal v_x permanece constante durante o movimento.

Fonte:  Adaptado de Ramalho, 1999.

Procedimentos

                Para a modelagem foi utilizado o software Modellus 4.1.

Etapas

1 -      Desenho de uma imagem de um jogador de basquete para representação do MUV, através do Paint.

 

2 -      No software Modellus inserir a imagem.  

 

3 -      Inserir o modelo matemático utilizando respectivamente, as equações 06, 04, 08, 07 e 05.

 

4 -      Definir os parâmetros necessários, alterando apenas a aceleração. Observe que a aceleração foi definida como negativa uma vez que a velocidade inicial é considerada positiva, caso contrário, esse móvel (bola) jamais retornaria para a superfície. 

 

5 -      Inserir um objeto para lançamento. Definir coordenadas horizontais (x) e verticais (y).

 

6 -      Em objetos, inserir um indicador de nível. Ligá-lo a variável theta e definir minimo e máximo. 

 

7 -      Em objetos, inserir um indicador de nível. Ligá-lo a variável vo e definir máximo e mínimo.

 8 -      Em notas, definir o movimento uniformemente variado.

Resultados

Ao executar o modelo, percebe-se que o objeto move-se obliquamente de acordo com a velocidade inicial e o ângulo definido para o mesmo. Se algum desses parâmetros mudar, consequentemente, a direção do objeto mudará também. Quanto maior o ângulo, maior é a altura atingida pelo móvel. Quanto ao alcance, a altura máxima será atingida com ângulo de 45º. É uma forma muito prática de estudar o movimento oblíquo que da forma tradicional é muito difícil de entender e visualizar. 

Bibliografia 

  

RAMALHO, F. , FERRARO, N. G. , SOARES, P. A. T. Os fundamentos da Física. 7. ed. São Paulo: Moderna, 1999.