Objetivos
Modelar o
movimento de um submarino através da modelagem matemática com o software
Modellus 4.1.
Verificar o
comportamento das forças sobre o movimento de um submarino.
Revisão Bibliográfica
O
movimento de um corpo em um fluido é regido basicamente pela força resultante
entre, verticalmente, peso do corpo e empuxo do fluido. Horizontalmente, o
movimento é o resultado da força resultante entre propulsão e atrito hidrodinâmico.
Segundo
Halliday e Resnick, 2009, um fluido é uma substância que pode escoar, pois
assumem a forma do recipiente em que são colocados. Eles se comportam dessa
forma porque um fluido não pode resistir a uma força paralela à sua superfície.
Quando se
trata de fluidos é conveniente utilizar as grandezas massa específica e
pressão.
Para
determinar a massa específica de um fluido é necessário medir a massa (m) de um
volume (V) de fluido. A massa específica é dada por (Equação 1):
Equação 1
A pressão de
um fluido é composta pela força (F) aplicada sobre uma área (A). A pressão pode
ser definida como (Equação 2):
Equação 2
A densidade do
corpo é a razão entre sua massa (m) e volume (V) (Equação 3). Enquanto massa
específica relaciona-se a substância, densidade relaciona-se a corpo.
Equação 3
Como escrito
anteriormente, o movimento vertical de um corpo no fluido é o resultado da
força resultante entre peso e empuxo. O peso é definido pela Equação 4.
Equação 4
O empuxo é uma
força de baixo para cima resultado do peso do fluido deslocado. Também
conhecido como o Princípio de Arquimedes. O empuxo só depende do peso do volume
do fluido deslocado por um corpo imerso neste fluido. A Equação 5 mostra a
equação da força do empuxo.
Equação 5
Quanto ao
movimento horizontal, como descrito anteriormente, o movimento para frente ou
para trás é o resultado da combinação de forças. A força resultante, juntamente
com a massa, é responsável pela aceleração do corpo imerso no fluido.
Esse movimento
poderá ser retilíneo uniforme, retilíneo uniformemente variado, ou uma
composição de vários tipos de movimento de acordo com a manipulação das
variáveis peso do corpo (submarino), força para frente e força para trás.
Para modelar o
movimento do submarino de forma mais natural, sem incrementos instantâneos de
força que levariam o mesmo a saltar na tela do computador, foram ultilizadas
equações diferenciais que permitiram o incremento infinitesimal de força
provocando variações infinitesimais na aceleração e consequentemente na
velocidade. Dessa forma, é possível pilotar o submarino de forma suave e sem
sobressaltos.
As Equações 6
e 7 mostram respectivamente as funções na forma diferencial, para velocidade e
aceleração, no movimento variado, na direção horizontal.
Equação 6
Equação 7
A Equação 6
nada mais é do que a função vx = vo+ ax . t
, no entanto, nesse formato, o submarino regido por essas
equações não sofrerá grandes incrementos na sua posição (x) quando sofrer uma
aceleração.
A Equação 8
descreve a aceleração horizontal ax
em função da força resultante Fx sobre
a massa do submarino.
Equação 8
As Equações 9
e 10 mostram respectivamente as funções na forma diferencial, para velocidade e
aceleração, no movimento variado, na direção vertical.
Equação 9
Equação 10
A Equação 11
descreve a aceleração vertical a em
função da força resultante Fr sobre a
massa do submarino. Fr é a força
resultante entre o peso do submarino e o empuxo sofrido pelo submarino.
Equação 11
É importante
ressaltar que para o controle do submarino, os operadores regulam a massa do
mesmo injetando ou retirando água dos tanques de imersão.
Procedimentos
Para a modelagem
matemática do submarino foi utilizado o software Modellus 4.1.
Etapas
1-
O projeto começou com o desenho de fundo feito
com o Paint. A imagem representa uma caverna submarina que serviu como
labirinto de exploração com o submarino.
2-
Através do recurso “objetos”, foi inserida a
imagem no software Modellus.
3-
Foi inserido o modelo matemático, utilizando
respectivamente as equações 6, 7, 8, 9, 10, 11 e 4.
4-
Foram definidos os valores em condições iniciais
para as variáveis vx (4.00) e vy (-6.00).
5-
Utilizando o recurso objetos, foi inserido uma
partícula (submarino) com coordenada horizontal ligada a variável vx e coordenada
vertical ligada a variável vy.
6-
Foi inserido um indicador de nível ligado a
variável força do eixo x (Fx) com valor mínimo (-50.000) e valor máximo
(63.400). Através desse controle foi possível acelerar e desacelerar o motor do
submarino.
7-
Para indicar a quantidade de força do motor foi
inserido um vetor que teve como coordenada horizontal a variável Fx, ligado ao submarino.
A escala foi reduzida a 0.002.
8-
Foi inserido um indicador de nível ligado à
variável massa, definindo o valor mínimo (15.000 kg) e máximo (25.000 kg).
Através deste controle foi possível alterar a relação entre peso e empuxo
fazendo com que o submarino imergisse ou emergisse.
9-
Foi inserido um vetor indicando o peso do
submarino. Foi definido somente a coordenada vertical P1 ao submarino. P1 foi
definido como o peso do submarino orientado negativamente (P1= -P).
10-
Para indicar a variação da velocidade no eixo y
foi inserido um vetor que teve como coordenada vertical a variável Vy. O vetor
esteve ligado ao submarino.
11-
Utilizando
o Paint foi desenhado um submarino pequeno. Utilizando o recurso ‘’objetos’’ do
software, a imagem foi inserida e ligada à partícula submarino.
12-
Para indicar o empuxo da água sobre o submarino,
foi colocado um vetor com coordenada vertical indicando F, que seria a variável
do empuxo. O vetor foi ligado ao submarino.
13-
O submarino foi colocado em movimento, os
indicadores de nível permitiram controlar o objeto fazendo com que fosse para
frente, para trás, para cima ou para baixo. Pôde-se observar também, através
dos vetores, as forças aplicadas sobre o submarino.
Considerações finais
Ao término
deste trabalho foi possível deslumbrar mais uma vez a importância da Matemática
no estudo de fenômenos físicos. Em especial, a utilização de vetores e do
cálculo diferencial foi decisivo no sucesso desta aplicação da teoria do
empuxo.
Foi
possível desenvolver uma aplicação em que um estudante pode controlar um
submarino de pesquisa através de uma caverna manipulando o peso do mesmo e
acelerando-o para frente e para trás.
Referências bibliográficas
HALLIDAY, D., RESNICK, R.,
WALKER, J. Fundamentos de Física. 8.ed.
Rio de Janeiro: S.A, 2009
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